87.5%）。

若赌局允许选择其他条件（如“至少1次正面”），可能更有利。

●最终建议

若赔率≥1.67倍：可理参与，长期期望收益≥0。

若赔率＜1.67倍：拒绝下注，避免长期亏损。

补充条件：

确保硬币均匀、无作弊（如赌场可能为降低正面概率）。

避免“赌徒谬误”（如连续反面后误认为正面概率上升）。

示例计算：

若下注1元，赢1.8元（赔率1.8倍），则期望收益：

e(x)=(0.8x0.375)+(-1x0.625)=0.3x0.625=-0.325元

仍为负期望，不值得。

总结

单纯从概率看，37.5%的胜率较高，但是否下注完全取决于赔率。

公平赔率阈值：1.67倍。

实际决策：只有当庄家提供的赔率超过此阈值时，下注才有数学优势。

■案例2：商场抽奖活动中的期望收益

问题描述：某商场举办抽奖活动，规则如下：

壹．抽奖一次需花费10元。

贰．奖池有100张奖券，其中1张一等奖（奖金500元），5张二等奖（奖金50元），其余无奖。

★求参与一次抽奖的期望收益，并判断活动是否对顾客有利。

▲概率学与统计学分析

△定义随机变量

设x为顾客的净收益（奖金-成本），需计算e(x)。

列出所有可能的收益及概率：

一等奖：概率p1=1/100，净收益500-10=490元。

二等奖：概率p2=5/100=1/20，净收益50-10=40元。

无奖：概率p3=94/100=47/50，净收益0-10=-10元。

计算期望收益：

期望公式：e(x)=∑(收益x概率)

代数据：e(x)=(490x1%)+(40x5%)+(-10x94%)=4.9+2+(-9.4)=-2.5元

◆结论：

○期望收益为-2.5元，即平均每次参与会亏损2.5元。

○统计学意义：长期来看，活动对顾客不利，但对商场有利（平均每顾客贡献2.5元利润）。

关键概念扩展

期望值（expected value）：衡量随机变量的长期平均结果，单次结果可能偏离期望。

决策应用：保险公司保费定价、投资风险评估等均依赖期望值计算。

余蓓在这里看到“决策应用”这一行字用红笔划了一道下划线，也许，孟晓涵就是通过这种方式让自己参与商业活动的吧？

别说在她这里，想都不敢想，就是在父母那里，也都不过是计算着买哪个保险好？

谁能想到去投资？

投资在这个相对保守的年代，那就是败家子和赌徒才会去做的事，谁能想到一个高中生，已经利用自己所学的知识开始为自己积累财富甚至构建商业帝国？

〓两个案例的关联与对比〓

▲概率与统计的结合

△案例1（二项分布）：计算单次试验中某结果的概率。

△案例2（期望收益）：通过概率分布计算长期平均结果，指导实际决策。

▲数学工具的应用

△二项分布：解决“发生次数”的概率问题，需明确试验独立。

△期望值：综合所有可能结果及其概率，量化平均收益或损失。

▲实际意义

△二项分布帮助理解随机现象中的规律（如赌博、生产次品率）。

△期望值用于优化策略（如商场定价、投资组合选择）。

▲常见误区与注意事项

△二项分布的独立假设

△若试验不独立（如抽奖不放回），需改用超几何分布。

△例如：案例2中若每限抽一次且奖券不放回，则中奖概率会动态变化。

▲期望值的局限

△期望值反映长期平均，但无法描述风险（如方差d(x)可衡量波动）。

△在案例2中，虽然期望亏损2.5元，但实际可能中大奖（高风险高波动）。

▲概率计算中的细节

△案例2的净收益需扣除成本（10元），而非直接使用奖金。

△需验证所有概率之和为1（如(1/100+5/100+94/100=1)）。

总结

通过这两个案例，可以看出：